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标题: 最最基本的物理题——这回是我的物理老师傻掉了！！
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#1
发表于 2006-8-25 23:21 资料 主页 个人空间 短消息 QQ Yahoo!
最最基本的物理题——这回是我的物理老师傻掉了！！

前几天跟我的老师讨论一道物理题。不是什么难的题目，大家踊跃发言，所谓“相聚甚欢”，但是到了最后一步，却被一个初中的物理概念卡住了！！而且它也是一个数学问题。

简化题目中其他的步骤，问题是这样的：如果一个力作用到一个斜面上(力所作用的面与力的方向不垂直)，这个面所受的压强是怎样的？大家都知道P=F/S，但这是就表面与力的方向垂直而言。当力与其作用面互称角度的时候，一般的想法应该是将力作矢量分解。就是分成垂直于表面的力和平行于表面的力。这样一来压强P=Fcos a/S(设a是斜面于水平面的夹角)。

可是从微观的角度，我们得到了一个不同的结论。我们把作用在该表面的力想象成无数条作用线的情况。每“一条”力作用在一个很小的面积上，这个很小的面积可以可以被看作为与力的方向垂直的。我们把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强。这样一来，面积就只剩下了水平方向上的面积。即P=F/Scos a！

这两个答案明显是不一样的。至此这个问题已经转化为了一个数学问题。我们可以选择将力进行矢量分解，也可以将面积进行矢量分解，使其成为分别垂直和平行于力的方向的两个量。由于面积=位移的乘积，面积应该也可以看作是矢量。当我们在用P=F/S的时候，到底是那一个被分解？

如能解答，万分感谢！附原题仅供各位娱乐：
太阳系中的粒子受到太阳的万有引力和太阳光的辐射力的共同作用。设该粒子是密度为ρ的球体且所有入射光线被吸收。(1)证明所有小于某临界半径R的粒子会从太阳系中脱离出去。(2)计算R的值，注意R值与粒子和太阳的距离无关。(R可用下列物理量表示：太阳的功率P，光速c，引力常数G，太阳质量M，粒子密度ρ)

[ 本帖最后由 Z_Artemis 于 2006-8-25 23:25 编辑 ]



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#2
发表于 2006-8-25 23:30 资料 主页 文集 短消息 QQ
楼主的问题和以下问题“基本”等价（基本的意思是，想明白以下问题，也就能想明白楼主的问题了）。
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这个序列无限下去，最终成为一条斜线。每个序列的总长度都是２，但斜线的总长度是sqrt(2)。换句话说，这个序列的长度为 2,2,2,...（到无穷后）, sqrt(2). 由于极限和序列出现不连续性，所以对于极限的长度问题，不能取序列长度这个数列的极限，而应该单独考虑．楼主提出的关于压强问题，其实也是这个原理，在极限的位置出现了不连续性．

这个现象在 L^2 norm 的情况下普遍存在。而恰恰 SO(n), SU(n) 等群又只能在 L^2 norm 下保持 isometry 特征（可以把这些群想象成 n 维球体，L^2 norm 想象成勾股定理关于斜边的长度）。至于说为什么大自然选择了L^2做物理测度（i.e. 为什么自然界的球体看着像圆的，而不像方的？），这个在量子场论上还是一个未能彻底解决的难题．

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-25 23:41 编辑 ]





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#3
发表于 2006-8-26 00:47 资料 主页 个人空间 短消息 QQ Yahoo!
这里是轩辕~~不是课堂。。。
pls elaborate...to be more reader-friendly...



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#4
发表于 2006-8-26 01:21 资料 主页 个人空间 短消息 QQ
物理忘的差不多了
似乎这个很小的面积可以可以被看作为与力的方向垂直的这个理解有问题,又似乎我们把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强不对,压强是单位面积的力啊,怎么对面积积分还是得到压强呢.
思维混乱了,召唤牛顿来解决吧
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#5
发表于 2006-8-26 08:39 资料 个人空间 短消息 QQ


QUOTE:
原帖由 天宫公主 于 2006-8-25 23:30 发表
楼主的问题和以下问题“基本”等价（基本的意思是，想明白以下问题，也就能想明白楼主的问题了）。
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这 ...

看的不是很明白
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#6
发表于 2006-8-26 09:39 资料 主页 文集 短消息
分成极小的时候错了



　　念少年御剑，雪裾翩跹，击花如碎，落英裙裳。
　　俟雪拥碧桃，春华初静，粲然顾盼，未知艰辛何在。
　　昔之艳靥，是非我欤？于今如梦，了无痕迹，
　　听风草上，望月天涯，泣影红烛泪落，钩弋玉帘风流
　　人生于天，生固苦之，吴承恩常做语“做不的也人子”，未知明际吴中究做何解，我宁枉解。做不得也人子~~
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#7
发表于 2006-8-26 10:03 资料 主页 文集 短消息
对与第一个问题,你的表述是错误的,事实上压强与斜面的倾角无关,只与力与作用面的夹角有关,很明显的例子,如果力与作用面的夹角是89度(接近垂直)那么压强还等于你所说的P=Fcos a/S吗?
所以说对你的第二个问题我是模糊的,隐约觉得你犯了数学上一个低级错误,不知道你是怎么相加得结果的,分为无穷小量后求和应该是求定积分,根据牛-莱公式有个求原函数的过程,所以结果应该是一致的.
你的物理老师可能是被你给搞迷糊了,呵呵.

[ 本帖最后由 瓦灰 于 2006-8-26 10:05 编辑 ]



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#8
发表于 2006-8-26 17:24 资料 主页 文集 短消息 QQ
求积分也没用，因为数列根本不收敛。



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#9
发表于 2006-8-26 18:47 资料 主页 文集 短消息
为什么要把简单的问题搞复杂呢?其实第二个问题就是个分成小量后求斜面面积的积分,你放到直角坐标系里,就会很容易的发现你的积分区域选错了.



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#10
发表于 2006-8-26 22:10 资料 短消息 QQ
全是猛人，



我把以色列的乌兹卖给回教徒，共产党的子弹卖给法西斯。还有，我不曾卖枪给本拉丹，不是因为道德问题，而是那时他老爱跳票。
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#11
发表于 2006-8-27 00:57 资料 主页 文集 短消息 QQ


QUOTE:
原帖由 瓦灰 于 2006-8-26 18:47 发表
为什么要把简单的问题搞复杂呢?其实第二个问题就是个分成小量后求斜面面积的积分,你放到直角坐标系里,就会很容易的发现你的积分区域选错了.

简单的计算谁都会做，关键是是否能理解为什么一个{2, 2, 2, 2, .... }的数列，它的“极限”会成为 sqrt(2)。这也正是楼主问题中出现疑难的环节。

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-27 01:16 编辑 ]



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#12
发表于 2006-8-27 01:09 资料 主页 个人空间 短消息 QQ Yahoo!
太强了~~公主不是在澳洲那鸟地方吗？
鄙人地理不好~~但从发贴的时间来看，少说也有3点了吧……
为公主的精神鼓掌~~！！

回应“瓦灰”
第一个问题：是我的疏忽。因为我们在讨论的时候一直假设里是在垂直方向上的，所以产生了误解`~
第二个问题：好像不是积分吧……？只是把许多的等量加起来……



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#13
发表于 2006-8-27 04:55 资料 主页 个人空间 短消息
回复 #1 Z_Artemis 的帖子

我们把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强。这样一来，面积就只剩下了水平方向上的面积。即P=F/Scos a！

为什么作用于不同承受面的压强可以相加呢？压强是相对于一个特定的承受面而言的。压强其实是个平均压强，
令一个作用线对它的承受面产生的压强是 f cos a / s
那么对斜面的压强(平均压强)是 sum( f cos a / s * s ) / sum(s) = F cos a / S,  与未分解前的计算是一样的。



对于那些害怕危险的人，危险无处不在。

在大海上航行的船没有不带伤的。
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#14
发表于 2006-8-27 05:09 资料 主页 个人空间 短消息
回复 #11 天宫公主 的帖子

不明白为什么这个序列无限下去，最终成为一条斜线。它只是更近似斜线而已。我认为近似和极限是不同的概念。这个序列无限下去，它的总长度恒定是2， 并没有出现趋近的行为，也就没有“极限”。倒是单一段的长度趋近为零，但不可能为零，就是原曲线的微分。



对于那些害怕危险的人，危险无处不在。

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发表于 2006-8-27 11:18 资料 主页 文集 短消息


QUOTE:
原帖由 Z_Artemis 于 2006-8-27 01:09 发表
太强了~~公主不是在澳洲那鸟地方吗？
鄙人地理不好~~但从发贴的时间来看，少说也有3点了吧……
为公主的精神鼓掌~~！！

回应“瓦灰”
第一个问题：是我的疏忽。因为我们在讨论的时候一直假设里是在垂直方 ...

积分的思想就是分成小量后相加,小量可以相等也可以不等,如果不等需遵循一定的函数关系,这里到可以不用积分但叫你用积分思想的原因是,你可以更直观的看到自己错在哪里.在求积分时,积分区域应该是斜面在xOy面的投影部分,而你用的区域是斜面的面积.



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#16
发表于 2006-8-27 16:28 资料 短消息
个人感觉是分成微元的那一步错了，把一个平面看成了锯齿面。但是那个锯齿面的极限又是平面，真邪恶口牙
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#17
发表于 2006-8-28 21:35 资料 主页 文集 短消息 QQ


QUOTE:
原帖由 lcarron78 于 2006-8-27 05:09 发表
不明白为什么这个序列无限下去，最终成为一条斜线。它只是更近似斜线而已。我认为近似和极限是不同的概念。这个序列无限下去，它的总长度恒定是2， 并没有出现趋近的行为，也就没有“极限”。倒是单一段的长度趋近 ...

楼梯蹬的样子，如果写成函数表示的话，是： y = [nx]/n (同时把竖着的跳跃部分连起来)。当 n -> 无穷，y -> x，该线倾向于一条斜线。

证：对任意 epi > 0, |[nx]/n - x | = |[nx] - nx|/n. 对于任何实数 a, 有|[a] - a| < 1，故而 |[nx] - nx|/n < 1/n. 因此，令 M = 1/epi，则对于任意 epi > 0, |[nx]/n - x| < epi 对于所有 n > M 成立。由于 M 只是关于 epi 的函数（与 x 无关），因此 [nx]/n ----> x 是 uniform convergent （一致收敛）。

从这个角度上，当楼梯蹬的蹬数倾向于无穷，它是可以收敛成一个斜面的。但有趣的是，在收敛之前的任何一个瞬间，楼梯蹬的总长度为2，而收敛后的总长度突然降到 sqrt(2)。

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-28 21:39 编辑 ]



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#18
发表于 2006-8-29 15:11 资料 主页 个人空间 短消息
原来convergent译成"收敛"。



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#19
发表于 2006-9-7 13:51 资料 短消息
討論其曲綫長度應基于：函數fn收斂于f，且fn'收斂于f'
不知道這麽說正確不...
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#20
发表于 2006-9-14 19:02 资料 短消息
我过来补了一下物理知识。   



我似朝露降人世，来去匆匆瞬亦逝，大垣巍巍气势盛，亦如梦中虚幻姿
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#21
发表于 2006-9-17 01:15 资料 主页 个人空间 短消息 QQ Yahoo!